Question

某游乐园为迎接建国60周年，特在今年年初用98万元购进一批新的游乐器材供游客游玩．预计第一年包括维修费在内需各种费用12万元，从第二年开始每年所需费用均比前一年增加4万元，这些玩具每年总收入预计为50万元，若干年后，若有两种处理方案：①当盈利总额达到最大时，以8万元的价格全部卖出；②当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格全部卖出．
（Ⅰ）分别写出经过x年后方案①中盈利总额y₁和方案②中年平均盈利y₂关于x 的函数关系式
（Ⅱ）问哪一种方案较为划算？请说明理由？

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用,函数模型的选择与应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据题意得出x年后所需各种费用的总和为12x+

x(x-1)

2

×4=2x²+10x，
y₂=

50x-98-(2x2+10x)

x

=-2（x+

49

x

）+40＜12，利用基本不等式求解即可．

解答： 解：（Ⅰ）设经过x年后，方案①中盈利总额为y₁，方案②中年平均盈利为y₂．
则x年后所需各种费用的总和为12x+

x(x-1)

2

×4=2x²+10x，
∴y₁=50x-98-（2x²+10x）=-2x²+40x-9=-2（x-10）²+102，
∵x＞0，∴x=10时总利润最大为102万元，总收入为102x+8=110万元．
y₂=

50x-98-(2x2+10x)

x

=-2（x+

49

x

）+40＜12，
∴当且仅当x=7时取等号，即年平均利润最大为12万元．
∴x=7时总利润为7×12=84万元，总收入为84+26=110万元．
（Ⅱ）故由于方案①是10年获利110万元，而方案②是7年获利110万元，
即方案②划算．

点评：本题考查了函数的实际应用，不等式的运用，关键是理解题意，列出函数关系式．