Question

【题目】正方体中，点在线段上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是_______．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，设动点的的坐标，根据棱长写出点的坐标，进而写出向量的坐标，用夹角公式写出向量夹角的余弦值，根据二次函数及余弦函数的性质取最大、最小值，进而可求角的取值范围。

详解：以点C为圆心，分别以为轴，建立空间直角坐标系。

设正方体的棱长为1，则 、 。

设点 。

则

设与的夹角为，由夹角公式得

当时， 取最大值，根据余弦函数在上为减函数，

因为，所以此时取最小值。

因为点在线段上运动（包括端点），所以。

根据二次函数的单调性可知当时， 取最小值 。

根据余弦函数在上为减函数，因为，所以此时取最大值。

所以，

所以与所成角的取值范围是 。