Question

已知函数f（x）=asin2x+cos（2x+

π

3

）的最大值为1，则a=

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：首先，借助于两角和的余弦公式，展开cos（2x+

π

3

），然后，利用辅助角公式，得到f（x）=

(a- 3 2 )2+ 1 4

sin（2x+θ），再利用最值关系式，求解a的取值．

解答： 解：∵函数f（x）=asin2x+cos（2x+

π

3

）
=asin2x+cos2xcos

π

3

-sin2xsin

π

3

=asin2x+

1

2

cos2x-

3

2

sin2x
=（a-

3

2

）sin2x+

1

2

cos2x
=

(a- 3 2 )2+ 1 4

sin（2x+θ），
∴f（x）max═

(a- 3 2 )2+ 1 4

∴

(a- 3 2 )2+ 1 4

=1，
两边平方，得
（a-

3

2

）²+

1

4

=1，
∴|a-

3

2

|=

3

2

，
∴a=0或

3

．
故答案为：0或

3

．

点评：本题综合考查了两角和与差的三角公式及其灵活运用，辅助角公式，三角函数的最值等知识，考查比较综合，属于中档题．