Question

已知向量

a

，

b

满足|

a

|=|

b

|=1，且|

a

+k

b

|=

3

|

a

-

b

|（k＜0），
（1）试用k表示

a

•

b

，并求出

a

•

b

的最大值及此时

a

与

b

的夹角θ的值；
（2）当

a

•

b

取最大值时，求实数λ，使|λ

a

-λ

b

|的值最小．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（1）由(

a

+k

b

)2=3(

a

-

b

)2即可求出

a

•

b

=

5-k2

2k+6

，所以求关于k的函数

5-k2

2k+6

的最大值即可，求出

a

•

b

的最大值为1，即

a

=

b

；
（2）

a

•

b

取最大值时，

a

=

b

，所以对于任意的λ|λ

a

-λ

b

|取最小值0．

解答： 解：（1）由已知条件可得：(

a

+k

b

)2=3(

a

-

b

)2；
∵|

a

|=|

b

|=1，∴得到，

a

•

b

=

5-k2

2k+6

，令y=

a

•

b

，则：
y=

5-k2

2k+6

，将该式整理成：k²+2yk+6y-5=0，可以将该式看成关于k的方程，方程有解；
△=4y²-4（6y-5）≥0，解得y≤1，或y≥5；
∵y=

a

•

b

=cosθ≤1，∴取y≤1，∴y的最大值为1，此时cosθ=1，∴θ=0；
即

a

•

b

的最大值为1，此时

a

与

b

的夹角θ的值为0；
（2）由（1）知当

a

•

b

取最大值时，

a

=

b

，所以|λ

a

-λ

b

|=0，即对于任意的λ都使|λ

a

-λ

b

|最小．

点评：考查向量数量积的运算公式，一元二次方程的解和判别式△的关系．