Question

已知A（2，0），B（x₀，y₀）是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上两点，满足直线AB的斜率为-

3

4

，且线段AB被直线l：y=x平分．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点P是椭圆C上异于A，B的动点，若直线AP交M于点M，直线交l于点，试探究

OM

•

ON

是否为定值，并说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由题意知a=2，设AB：y=-

3

4

(x-2)，代入

x2

4

+

y2

b2

=1，得（4b²+9）x²-36x+4（9-4b²）=0，由此利用韦达定理求出AB中点为（

18

4b2+9

，

6b2

4b2+9

），从而能求出椭圆方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得B（-

2

7

，

12

7

），设P（x′，y′），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线AP：y=

y′

x′-2

(x-2)，代入y=x，得x1=

-2y′

x′-y′-2

，直线BP：y-

12

7

=

y′- 12 7

x′+ 2 7

(x+

2

7

)，代入y=x，得x2=

12 7 x′+ 2 7 y′

x′-y′+2

，由此能求出

OM

•

ON

为定值

24

7

．

解答： 解：（Ⅰ）∵A（2，0），B（x₀，y₀）是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上两点，
∴a=2，设AB：y=-

3

4

(x-2)，代入

x2

4

+

y2

b2

=1，
得（4b²+9）x²-36x+4（9-4b²）=0，
由韦达定理x0+2=

36

4b2+9

，推导出x0=

18-8b2

4b2+9

，y0=

12b2

4b2+9

，
得到AB中点为（

18

4b2+9

，

6b2

4b2+9

），
由

18

4b2+9

=

6b2

4b2+9

，解得b²=3，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得B（-

2

7

，

12

7

），
设P（x′，y′），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直线AP：y=

y′

x′-2

(x-2)，代入y=x，得x1=

-2y′

x′-y′-2

，
直线BP：y-

12

7

=

y′- 12 7

x′+ 2 7

(x+

2

7

)，代入y=x，得x2=

12 7 x′+ 2 7 y′

x′-y′+2

，
则

OM

•

ON

=2x₁y₁=-

8

7

•

y′(6x′+y′)

(x′-y′)2-4

=
-

8

7

•

6x′y′+(y′)2

(x′)2-2x′y′+(y′)2-4

=-

8

7

•

6x′y′+(y′)2

4- 4 3 (y′)2-2x′y′+(y′)2-4

=

24

7

．
∴

OM

•

ON

为定值

24

7

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积是否为定值的判断，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．