Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

（2a+1）x²+（a²+a）x，若对任意m∈R，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，则实数k的取值范围是（　　）

• A、[-

  1

  4

  ，+∞）
• B、（-

  1

  4

  ，+∞）
• C、（-∞，-

  1

  4

  ]
• D、（-∞，-

  1

  4

  ）

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：求函数的导数，利用导数的几何意义，利用直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线即可求出k的取值范围．

解答： 解：∵函数f（x）=

1

3

x³-

1

2

（2a+1）x²+（a²+a）x，
∴导数f′（x）=x²-（2a+1）x+（a²+a）=（x-

2a+1

2

）²-

1

4

≥-

1

4

，
若对任意m∈R，直线y=kx+m都不是曲线y=f（x）的切线，
则k＜-

1

4

，
故实数k的取值范围是（-∞，-

1

4

），
故选：D

点评：本题主要考查导数的几何意义以及二次函数的性质，利用导数的几何意义求出导数的取值范围是解决本题的关键．