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    证明一个角的平分线的平行射影不一定是该角平行射影的角平分线.

    图3-1-5

    证明:设OC为∠AOB的平分线,在OC上任取一点P,作PD⊥OA于D,PE⊥OB于E.

    显然必存在一平面α∥PD而不平行于PE,将该角向平面α作正射影,

    则PD=P′D′,PE＞P′E′.

    ∵PD=PE,

    ∴P′D′＞P′E′,即P′不在∠A′O′B′的角平分线上.

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （1）若椭圆的方程是：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0），它的左、右焦点依次为F1、F2，P是椭圆上异于长轴端点的任意一点．在此条件下我们可以提出这样一个问题：“设△PF1F2的过P角的外角平分线为l，自焦点F2引l的垂线，垂足为Q，试求Q点的轨迹方程？”
    对该问题某同学给出了一个正确的求解，但部分解答过程因作业本受潮模糊了，我们在
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    这些模糊地方划了线，请你将它补充完整．
    解：延长F2Q 交F1P的延长线于E，据题意，
    E与F2关于l对称，所以|PE|=|PF2|．
    所以|EF1|=|PF1|+|PE|=|PF1|+|PF2|=
     
    ，
    在△EF1F2中，显然OQ是平行于EF1的中位线，
    所以|OQ|=
    1
    2
    |EF1|=
     
    ，
    注意到P是椭圆上异于长轴端点的点，所以Q点的轨迹是
     
    ，
    其方程是：
     
    ．
    （2）如图2，双曲线的方程是：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1（a，b＞0），它的左、右焦点依次为F1、F2，P是双曲线上异于实轴端点的任意一点．请你试着提出与（1）类似的问题，并加以证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•山东）椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的左右焦点分别是F1，F2，离心率为
    		3
    2
    ，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；
    （3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明
    1
    kk1
    +
    1
    kk2
    为定值，并求出这个定值．

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    科目：高中数学 来源：2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)、理科数学 题型：044

    椭圆C：的左、右焦点分别是F1．F2，离心率为过F，且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l．

    (Ⅰ)求椭圆C的方程；

    (Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围；

    (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，过点p作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点．

    设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明为定值，并求出这个定值．

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    科目：高中数学 来源：2013年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷解析版） 题型：解答题

    椭圆： 的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为。

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；

    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点作斜率为的直线,使与椭圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为。若，试证明为定值，并求出这个定值。

     

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