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在等腰梯形ABCD中,ABCDABBCAD2CD4E为边DC的中点,如图1.ADE沿AE折起到AEP位置,连PBPC,点Q是棱AE的中点,点M在棱PC上,如图2.

(1)PA平面MQB,求PMMC

(2)若平面AEP平面ABCE,点MPC的中点,求三棱锥A ?MQB的体积.

 

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【解析】(1)ACBQ,设ACBQF,连MF.

则平面PAC平面MQBMF,因为PA平面MQBPA?平面PAC,所以PAMF.(2)

在等腰梯形ABCD中,E为边DC的中点,所以由题设,ABEC2.

所以四边形ABCE为平行四边形,则AEBC.(4)

从而AFQ∽△CFBAFFCAQCB12.

PAMF,所以FMC∽△APC,所以PMMCAFFC12.(7)

(2)(1)知,AED是边长为2的正三角形,从而PQAE.

因为平面AEP平面ABCE,交线为AE,所以PQ平面ABCEPQQB,且PQ.

因为PQ?平面PQC,所以平面PQC平面ABCE,交线为QC.(9)

过点MMNQCN,则MN平面ABCE,所以MN是三棱锥M ?ABQ的高.

因为PQ平面ABCEMN平面ABCE,所以PQMN.

因为点MPC的中点,所以MNPQ.(11)

(1)知,ABE为正三角形,且边长为2.所以,SABQ.

三棱锥A ?MQB的体积VA ?MQBVM ?ABQ××.(14)

 

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1

1

3

2

 

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