Question

14．已知函数y=$\frac{1}{4}cos2x+\frac{{\sqrt{3}}}{4}$sin2x，x∈R．
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

Answer 1

分析 （1）化简函数的解析式，当s$in（2x+\frac{π}{6}）=1$，y有最大值，求解即可；
（2）把函数y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{6}$，把函数$y=sin（x+\frac{π}{6}）$的图象上各点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），将函数$y=sin（2x+\frac{π}{6}）$的图象上各点的纵坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍（横坐标不变），即可．

解答 解：$y=\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{6}）$…（2分）
（1）当$in（2x+\frac{π}{6}）=1$，即$x=kπ+\frac{π}{6}（k∈Z）$时，y有最大值．…（5分）
集合为$\left\{{x\left|{x=kπ+\frac{π}{6}，k∈Z}\right.}\right\}$…（6分）
（2）第一步：把函数y=sinx的图象向左平移$\frac{π}{6}$，得到函数$y=sin（x+\frac{π}{6}）$的图象；
第二步：把函数$y=sin（x+\frac{π}{6}）$的图象上各点的横坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），得到函数$y=sin（2x+\frac{π}{6}）$的图象；
第三步：将函数$y=sin（2x+\frac{π}{6}）$的图象上各点的纵坐标缩短为原来的$\frac{1}{2}$倍（横坐标不变），得到函数$y=\frac{1}{2}sin（2x+\frac{π}{6}）$的图象．…（12分）

点评 本题考查三角函数化简求值，函数的最值以及三角函数变换，考查计算能力．