【题目】如图,四棱锥中,底面为矩形, 平面, ,点为的中点,点在棱上移动.
(1)当点为的中点时,试判断与平面的位置关系,并说明理由;
(2)求证:无论点在的何处,都有;
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)面;(2)详见解析;(3).
【解析】试题分析:
(1)由于分别为的中点,可得,再根据线面平行的判定定理即可证明结果; (2)因为面,可得;由于为矩形,则,根据线面垂直的判定定理,可得面,进而可得.再由于,且为中点,可得,于是可证面,进而求证出结论;(3) 过作于, 于,连接,则即为所求二面角的平面角.然后再中即可求出的余弦值,即可求出二面角的余弦值.
试题解析:
(1)∵分别为的中点,
∴,∵面面,∴面.
(2)∵面面,∴.
∵为矩形,∴,∵,∴面,
∵面,∴.
∵,且为中点,∴.
∵,∴面,∵面,∴.
(3)
过作于, 于,连接,则即为所求.易得.
∵为矩形,∴,所以点到的距离为.
∵,∴,∵为中点,∴为中点,
∴.
在中.
∴,
即二面角的余弦值为.
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【题目】设椭圆中心在坐标原点,A(2,0),B(0,1)是它的两个顶点,直线y=kx(k>0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.
(1)若=6,求k的值;
(2)求四边形AEBF面积的最大值.
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【题目】现从某班的一次期末考试中,随机的抽取了七位同学的数学(满分150分)、物理(满分110分)成绩如下表所示,数学、物理成绩分别用特征量表示,
特征量 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
t | 101 | 124 | 119 | 106 | 122 | 118 | 115 |
y | 74 | 83 | 87 | 75 | 85 | 87 | 83 |
求关于t的回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,分析数学成绩的变化对物理成绩的影响,并估计该班某学生数学成绩130分时,他的物理成绩(精确到个位).
附:回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
.
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【题目】已知幂函数(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数,若g(x)>2对任意的x∈R恒成立,求实数c的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=x3-3ax+e,g(x)=1-lnx,其中e为自然对数的底数.
(I)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线l:x+2y=0垂直,求实数a的值;
(II)设函数F(x)=-x[g(x)+x-2],若F(x)在区间(m,m+1)(m∈Z)内存在唯一的极值点,求m的值;
(III)用max{m,n}表示m,n中的较大者,记函数h(x)=max{f(x),g(x)}(x>0). 若函数h(x)在(0,+∞)上恰有2个零点,求实数a的取值范围.
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【题目】本着健康、低碳的生活理念,租用公共自行车的人越来越多.租用公共自行车的收费标准是每车每次不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲乙两人相互独立租车(各租一车一次).设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为, ;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为, ;两人租车时间都不会超过四小时.
(1)求出甲、乙所付租车费用相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量,求随机变量的概率分布和期望.
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【题目】设P、Q为两个非空集合,定义集合P+Q={m+n| m∈P,n∈Q},若P={0,2,5}, Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数为 ( )
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
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