若函数满足:在定义域内存在实数
,使
(k为常数),则称“f(x)关于k可线性分解”.
(Ⅰ)函数是否关于1可线性分解?请说明理由;
(Ⅱ)已知函数关于
可线性分解,求
的取值范围;
(Ⅲ)证明不等式:.
(Ⅰ)是关于1可线性分解;(Ⅱ)a的取值范围是;(Ⅲ)详见解析.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)函数是否关于1可线性分解,关键是看是否存在
使得
成立,若成立,是关于1可线性分解,否则不是关于1可线性分解,故看
是否有解,构造函数
,看它是否有零点,而
,观察得
,
,有根的存在性定理可得存在
,使
;(Ⅱ)先确定定义域为
,函数
关于
可线性分解,即存在
,使
,即
有解,整理得
有解,即
,从而求出
的取值范围;(Ⅲ)证明不等式:
,当
时,
,对
求导,判断最大值为
,可得
,分别令
,叠加可得证结论.
试题解析:(Ⅰ)函数的定义域是R,若是关于1可线性分解,
则定义域内存在实数,使得
.
构造函数
.
∵,
且
在
上是连续的,
∴在
上至少存在一个零点.
即存在,使
.
4分
(Ⅱ)的定义域为
.
由已知,存在,使
.
即.
整理,得,即
.
∴,所以
.
由且
,得
.
∴a的取值范围是.
9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,a =1,,
.
当时,
,所以
的单调递增区间是
,当
时,
,所以
的单调递减区间是
,因此
时,
的最大值为
,所以
,即
,因此得:
,
,
,
,
,以上各式相加得:
,即
,所以
,即
.
14分
考点:导数在最大值、最小值问题中的应用.
科目:高中数学 来源: 题型:
1 |
e |
y |
x |
1+lny |
1+lnx |
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科目:高中数学 来源: 题型:
x+2 |
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科目:高中数学 来源:广东省龙川一中2011-2012学年高一上学期12月月考数学试题 题型:022
若函数f(x)在定义域内满足f(-x)=-f(x),且当0≤0≤4时,f(x)=x2+2x,则当-4≤x<0时,f(x)的解析式是_________.
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科目:高中数学 来源:2013-2014学年黑龙江佳木斯市高三第三次调研理科数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知函数.
(1)若函数满足,且在定义域内
恒成立,求实数b的取值范围;
(2)若函数在定义域上是单调函数,求实数
的取值范围;
(3)当时,试比较
与
的大小.
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