Question

已知函数f（x）=ax²+x-xlnx（a＞0）．
（Ⅰ）若函数满足f（1）=2，且在定义域内f（x）≥bx²+2x恒成立，求实数b的取值范围；
（Ⅱ）当

1

e

＜x＜y＜1时，试比较

y

x

与

1+lny

1+lnx

的大小；
（Ⅲ）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）x²+x-xlnx）≥bx²+2x恒成立等价于b≤1-

1

x

-

lnx

x

，构造函数g（x）=1-

1

x

-

lnx

x

，利用导数可求得g（x）_min，从而可求得实数b的取值范围；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）在（0，1]上递减，从而可得

1

e

＜x＜y＜1时，g（x）＞g（y），化简可得结论；
（Ⅲ）求导数f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），令f′（x）≥0可求得a的范围，对a的范围分情况讨论可由f（x）在定义域上是单调函数，求得实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ） 由f（1）=2，得a=1…（2分）
∵x＞0，∴x²+x-xlnx）≥bx²+2x恒成立等价于b≤1-

1

x

-

lnx

x

，
令g（x）=1-

1

x

-

lnx

x

，可得g′（x）=

lnx

x2

∴x∈（0，1]时，g′（x）≤0
∴g（x）在（0，1]上递减，
在[1，∞）上递增，所以g（x）_min=g（1）=0，
即b≤0…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）在（0，1]上递减，
∴

1

e

＜x＜y＜1时，g（x）＞g（y）即

1+lnx

x

＞

1+lny

y

 …（6分）
而

1

e

＜x＜y＜1时，-1＜lnx＜0，
∴1+lnx＞0，
∴

y

x

＜

1+lny

1+lnx

；…（9分）
（Ⅲ）f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），
令f′（x）≥0得：2a≥

lnx

x

设h（x）=

lnx

x

（x＞0），则h′(x)=

1-lnx

x2

令h′(x)=

1-lnx

x2

＞0，则0＜x＜e；令h′(x)=

1-lnx

x2

＜0，可得x＞e
∴当x=e时，h（x）_max=

1

e

，
∴当a≥

1

2e

时，函数f（x）在（0，+∞）单调递增          …（11分）
若0＜a＜

1

2e

，g(x)=2ax-lnx，(x＞0)，g′(x)=2a-

1

x

g′(x)=0，x=

1

2a

，x∈(0，

1

2a

)，g′(x)＜0；x∈(

1

2a

，+∞)，g′(x)＞0，
∴x=

1

2a

时，取得极小值，即最小值．
当0＜a＜

1

2e

时，g（

1

2a

）=1-ln

1

2a

＜0，f'（x）=0必有根，f（x）必有极值，在定义域上不单调…（13分）
∴a≥

1

2e

                                         …（14分）

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查函数的单调性与导数的关系，考查分类讨论思想在分析解决问题中的应用，属于中档题．