Question

【题目】已知圆O经过椭圆C：=1（a＞b＞0）的两个焦点以及两个顶点，且点（b，）在椭圆C上．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线l与圆O相切，与椭圆C交于M、N两点，且|MN|=，求直线l的倾斜角．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

(1)先由题意得出 ,可得出与的等量关系，然后将点的坐标代入椭圆的方程，可求出与的值，从而得出椭圆的方程；(2)对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，可求出，然后进行检验；当直线的斜率存在时，可设直线的方程为,设点，先由直线与圆相切得出与之间的关系，再将直线的方程与椭圆的方程联立，由韦达定理，利用弦长公式并结合条件得出的值，从而求出直线的倾斜角.

（1）由题可知圆只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，可得，

又点在椭圆上，所以，解得，

即椭圆的方程为.

（2）圆的方程为，当直线不存在斜率时，解得，不符合题意；

当直线存在斜率时，设其方程为，因为直线与圆相切，所以，即.

将直线与椭圆的方程联立，得：

，

判别式，即，

设，则 ，

所以，

解得，

所以直线的倾斜角为或.