【题目】已知数列的各项均不为零.设数列
的前n项和为Sn,数列
的前n项和为Tn, 且
.
(1)求的值;
(2)证明:数列是等比数列;
(3)若对任意的
恒成立,求实数
的所有值.
【答案】(1),
;(2)数列
是以1为首项,
为公比的等比数列;(3)0
【解析】
(1)令n=1,n=2列关于的方程求解即可;(2)因为
, ①,
②,②
①得
③
进一步有④,③
④得
,检验n=1 成立,即可证明
是等比数列(3)由(2)将
代入不等式,由
对任意的
恒成立,所以
适合,讨论
,当
为奇数时
恒成立,和
,当
为奇数时
恒成立,通过证明
,
单调减,
,即
(*),说明上面两个不等式不恒成立,推得矛盾,即可求得只有
合适
(1)因为,
.
令,得
,因为
,所以
.
令,得
,即
,
因为,所以
.
(2)因为, ①
所以, ②
②①得,
,
因为,所以
,③
所以, ④
当时,③
④得,
,即
,
因为,所以
.
又由(1)知,,
,所以
,
所以数列是以1为首项,
为公比的等比数列.
(3)由(2)知,.
因为对任意的,
恒成立,
所以的值介于
和
之间.
因为对任意的
恒成立,所以
适合.
若,当
为奇数时,
恒成立,从而有
恒成立.
记,因为
,
所以,即
,所以
(*),
从而当时,有
,所以
不符.
若,当
为奇数时,
恒成立,从而有
恒成立.
由(*)式知,当时,有
,所以
不符.
综上,实数的所有值为0.
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【题目】已知圆O经过椭圆C:=1(a>b>0)的两个焦点以及两个顶点,且点(b,
)在椭圆C上.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l与圆O相切,与椭圆C交于M、N两点,且|MN|=,求直线l的倾斜角.
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【题目】“中国人均读书4.3本(包括网络文学和教科书),比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多,是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用,出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的,而且和其他国家相比,我国国民的阅读量如此之低,也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站,由于不同年龄段需看不同类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区内看书人员进行年龄调查,随机抽取了一天40名读书者进行调查,将他们的年龄分成6段: ,
,
,
,
,
后得到如图所示的频率分布直方图.
问:
(1)估计在40名读书者中年龄分布在的人数;
(2)求40名读书者年龄的平均数和中位数;
(3)若从年龄在的读书者中任取2名,求这两名读书者年龄在
的人数
的分布列及数学期望.
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【题目】如图所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,侧面BCC1B1为正方形,A1B1⊥B1C1.设A1C与AC1交于点D,B1C与BC1交于点E.
求证:(1)DE∥平面ABB1A1;
(2)BC1⊥平面A1B1C.
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【题目】设数列{an}前n项和为Sn,满足Sn+1=4an+2(n∈N+),且a1=1,
(1)若cn,求证:数列{cn}是等差数列.
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
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【题目】如图,该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成,半圆柱体底面直径,
,
,D为半圆弧
的中点,若异面直线BD和
所成角的大小为
.
(1)证明:平面
;
(2)求该几何体的表面积和体积;
(3)求点D到平面的距离.
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【题目】①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;
②在中,“
”是“
三个角成等差数列”的充要条件.
③是
的充要条件;
④命题“不等式x2+x-6>0的解为x<-3或x>2”的逆否命题是“若-3≤x≤2,则x2+x-6≤0”
以上说法中,判断错误的有___________.
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【题目】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:就是其中之一(如图).给出下列三个结论:
①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);
②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过;
③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.
其中,所有正确结论的序号是
A. ①B. ②C. ①②D. ①②③
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