Question

已知函数f（x）=|log₂（x-1）|-（

1

3

）^x有两个零点x₁，x₂，则（　　）

• A、x₁x₂＜1
• B、x₁x₂＞x₁+x₂
• C、x₁x₂=x₁+x₂
• D、x₁x₂＜x₁+x₂

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：将函数f（x）有两个零点转化成两个新函数有两个交点，设出交点坐标，根据函数的性质得出不等式，解出即可．

解答： 解：∵f（x）=|

log

(x-1) 2

|-（

1

3

）^x有两个零点x₁，x₂
即y=|

log

(x-1) 2

|与y=3^-x有两个交点
由题意x-1＞0，分别画y=3^-x和y=|

log

(x-1) 2

|的图象

发现在（1，2）和（2，+∞）有两个交点
不妨设x₁在（1，2）里，x₂在（2，+∞）里
那么在（1，2）上有3^-x₁=-

log

(x1-1) 2

，即-3^-x₁=

log

(x1-1) 2

…①
在（2，+∞）有3^-x₂=

log

(x2-1) 2

…②
①②相加有3^-x₂-3^-x₁=

log	(x2-1)(x1-1) 2

∵x₂＞x₁，∴3^-x₂＜3^-x₁ 即3^-x₂-3^-x₁＜0
∴

log	(x2-1)(x1-1) 2

＜0
∴0＜（x₂-1）（x₁-1）＜1，
∴0＜x₂x₁-（x₂+x₁）+1＜1，
∴x₂x₁＜x₂+x₁
故选D．

点评：本题考察了函数的零点问题，指数函数与对数函数的图象及性质，是一道中档题．