Question

如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且经过点M（2，1）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点M作两条直线分别交椭圆于A、B两点，若两直线与x轴所围成的三角形为等边三角形：
①求证：AB∥OM；
②求△MAB面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由于椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且经过点M（2，1）．可得

c a = 3 2 4 a2 + 1 b2 =1 a2=b2+c2

，解得即可．
（2））①证明：两直线与x轴所围成的三角形为等边三角形，可得直线AM，BM的方程分别为：y-1=

3

（x-2），y-1=-

3

（x-2），与椭圆方程联立化为13x²+8(

3

-6)x+44-16

3

=0，解得x_A，y_A．同理可得x_B，y_B．证明k_AB=

yB-yA

xB-xA

=k_OM=

1

2

，即可．②由①可设直线AB的方程为y=

1

2

x+t．与椭圆方程联立x²+2tx+2t²-8=0，由于△＞0，可得根与系数的关系，|AB|=

(1+ 1 4 )[(x1+x2)2-4x1x2]

，利用点到直线的距离公式可得点M到直线AB的距离d．再利用S_△MAB=

1

2

d•|AB|，及其导数研究函数的单调性即可得出．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，且经过点M（2，1）．
∴

c a = 3 2 4 a2 + 1 b2 =1 a2=b2+c2

，解得a²=8，b²=2，
∴椭圆C的标准方程为

x2

8

+

y2

2

=1．
（2）①证明：两直线与x轴所围成的三角形为等边三角形，可得直线AM，BM的方程分别为：y-1=

3

（x-2），y-1=-

3

（x-2），
联立

y= 3 x+1-2 3 x2+4y2=8

，化为13x²+8(

3

-6)x+44-16

3

=0，
∴2×x_A=

44-16 3

13

，∴x_A=

22-8 3

13

．y_A=

-11-4 3

13

．
同理可得x_B=

22+8 3

13

，y_B=

4 3 -11

13

．
∴k_AB=

yB-yA

xB-xA

=

1

2

，
∵k_OM=

1

2

，
∴k_OM=k_AB．
∴OA∥AB．
②由①可设直线AB的方程为y=

1

2

x+t．
联立

y= 1 2 x+t x2+4y2=8

，化为x²+2tx+2t²-8=0，
△=4t²-4（2t²-8）＞0，化为t²＜8．
∴x₁+x₂=-2t，x₁x₂=2t²-8．
∴|AB|=

(1+ 1 4 )[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5 4 ×[4t2-4(2t2-8)]

=

40-5t2

．
点M到直线AB的距离d=

|2-2+2t|

5

=

|2t|

5

．
∴S_△MAB=

1

2

d•|AB|=

1

2

×

|2t|

5

×

40-5t2

=

8t-t3

，
令g（t）=8t-t³，（t²＜8）．
g′（t）=8-3t²，
令g′（t）＞0，解得t2＜

8

3

，此时函数g（t）单调递增；令g′（t）＜0，解得8＞t2＞

8

3

，此时函数g（t）单调递减．
∴当t2=

8

3

（满足t²＜8）时，函数g（t）取得最大值，8×

8

3

-(

8

3

)3=

64

27

．
∴△MAB取得最大值为

64 27

=

8 3

9

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．