Question

20．为了做好“双11”促销活动，某电商打算将进行促销活动的礼品重新包装，设计方案如下：将一块边长为20cm的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形△SEE′，△SFF′，△SGG′，△SHH′，再将剩下的阴影部分折成一个四棱锥形状的礼品袋S-EFGH，其中A，B，C，D重合于点O，E与E′重合，F与F′重合，G与G′重合，H与H′重合（如图所示），设AE=BE′=x（cm）．
（1）求证：平面SEG⊥平面SFH；
（2）若电商要求礼品袋的侧面积不少于128cm²，试求x的取值范围；
（3）当x=5时，该电商打算将礼品袋S-EFGH全部放入一个球形状的包装盒内密封，求包装盒的内径R的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据面面垂直的判定定理进行证明
（2）用正方形的面积减去4（S_△EAH'+S_△SEE'），即可得到四棱锥的侧面积，结合一元二次不等式进行求解即可．
（3）根据正四棱锥S-EFGH的外接球的性质求出外接球的半径进行求解即可．

解答 证明：∵折后A，B，C，D重合于一点O，
∴拼接成底面EFGH的四个直角三角形必为全等的等腰直角三角形，
∴底面EFGH是正方形，故EG⊥FH，
∵在原平面EFGH是正方形，故EG⊥FH，
∵在原平面图形中，等腰三角形△SEE′≌△SGG′，
∴SE=SG，∴EG⊥SO，
又∵SO、FH?平面SFH，SO∩FH=O，
∴EG⊥平面SFH，
又∵EG?平面SEC，∴平面SEG⊥平面SFH．
（2）∵AE=BE′=x（cm）．
∴EE'=20-2x，有EE'＞0得0＜x＜10，
则△SEE'的高为20，
则礼品袋的侧面积S=20×20-4（S_△EAH'+S_△SEE'）
=400-4[（$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$（20-2x）×10]=400-（2x²+400-40x）=-2x²+40x，
由S=-2x²+40x≥128得x²-20x+64≤0，得4≤x≤16，
∵0＜x＜10，∴4≤x＜10．
（3）当x=5时，OE=OF=AE=5，则EF=5$\sqrt{2}$，包装盒的内径最小值，
即为正四棱锥S-EFGH的外接球的半径R，
设正四棱锥的外接球的球心为O'，
则O'在正四棱锥S-EFGH的高SO上，连接EO'，
则Rt△SEO中，SO=10，
∴O'E=R，O'O=10-R，
Rt△EOO'中，OE²+O'O²=O'E²，
∴5²+（10-R）²=R²，
即25+100-20R=0，得R=$\frac{125}{20}=\frac{25}{4}$=6.25，
即包装盒的内径R的最小值是6.25．

点评 本题主要考查面面垂直的判断以及四棱锥外接球的性质，以及四棱锥侧面积的计算，利用函数思想是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．