Question

5．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=（-x²+ax-3）e^x（a为实数）．
（1）当a=5时，求函数y=g（x）在x=1处的切线方程；
（2）若方程g（x）=2e^xf（x）在x∈[$\frac{1}{e}$，e]上有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=5代入求得g（x）的解析式，求出导数，求得g（1）和切线斜率k=g′（1），由直线方程的点斜式求得切线方程；
（2）把f（x）和g（x）的解析式代入g（x）=2e^xf（x）分离变量a，构造辅助函数，求得x∈[$\frac{1}{e}$，e]在的最大和最小值，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=5，g（x）=（-x²+5x-3）e^x，
g′（x）=（-x²+3x+2）e^x，
∴在x=1处切线的斜率为k=g′（1）=4e．
g（1）=e，…（4分）
所以切线方程为：y-e=4e（x-1），即y-4ex+3e=0．…（6分）
（2）由g（x）=2e^xf（x），x∈[$\frac{1}{e}$，e]可得：2xlnx=-x²+ax-3，
a=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，…（8分）
令h（x）=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，h′（x）=1+$\frac{2}{x}$-$\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$．

x	（$\frac{1}{e}$，1）	1	（1，e）
h′（x）=	-	0	+
h（x）	单调递减	极小值（最小值）	单调递增

…（10分）
h（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{e}$+3e-2，h（1）=4，h（e）=$\frac{3}{e}$+e+2，
h（e）-h（$\frac{1}{e}$）=4-2e+$\frac{2}{e}$＜0．
∴实数a的取值范围为4＜a≤$\frac{3}{e}$+e+2．…（12分）

点评 本题考查了导数在求函数最值中的应用，考查利用导函数求函数的单调性，构造辅助函数求含字母系数的范围问题，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．