Question

16．已知向量$\overrightarrow{a}$=（2cos x，sin x），$\overrightarrow{b}$=（cos x，-2cos x）．设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$
（1）求f（x）的解析式
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积运算，二倍角余弦公式及变形、两角和的余弦函数公式化简解析式即可；
（2）由余弦函数的增区间和整体思想求出f（x）的增区间．

解答 解：（1）由题意得，向量$\overrightarrow{a}$=（2cos x，sin x），$\overrightarrow{b}$=（cos x，-2cos x），
∴f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=2cos²x-2sinxcosx
=1+cos2x-sin2x=$\sqrt{2}cos（2x+\frac{π}{4}）+1$，
则f（x）=$\sqrt{2}cos（2x+\frac{π}{4}）+1$；
（2）由$-π+2kπ≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ（k∈Z）$得，
$-\frac{5π}{8}+kπ≤x≤-\frac{π}{8}+kπ（k∈Z）$，
∴f（x）的单调增区间是$[-\frac{5π}{8}+kπ，-\frac{π}{8}+kπ]（k∈Z）$．

点评 本题考查了向量的数量积运算，二倍角余弦公式及变形，两角和的余弦公式，以及余弦函数的单调性，考查整体思想，化简、变形能力．