Question

已知x，y满足约束条件

(1)求目标函数z＝2x－y的最大值和最小值；

(2)若目标函数z＝ax＋y取得最大值的最优解有无穷多个，求a的值；

(3)求z＝x2＋y2的取值范围．

 

Answer 1

（1）zmax＝2×5－3＝7，zmin＝2×1－＝－.

（2）a＝.

（3）[，34]

【解析】【解析】
(1)作出不等式组表示的可行域如图：

作直线l：2x－y＝0，并平行移动使它过可行域内的B点，此时z有最大值；过可行域内的C点，此时z有最小值，

解，得A(1，)．

解，得B(5,3)．

解，得C(1，)．

∴zmax＝2×5－3＝7，zmin＝2×1－＝－.

(2)一般情况下，当z取得最大值时，直线所经过的点都是唯一的，但若直线平行于边界直线，即直线z＝ax＋y平行于直线3x＋5y＝30时，线段BC上的任意一点均使z取得最大值，此时满足条件的点即最优解，有无数个．

又kBC＝－，∴－a＝－，∴a＝.

(3)z＝x2＋y2，则为(x，y)与原点(0,0)的距离，结合不等式的区域，易知A点到原点距离最小为，最大值为|OB|、|OC|、原点O到直线3x＋5y＝30距离三者之一，计算得，最大值为|OB|＝.故z＝x2＋y2的取值范围是[，34]．