Question

10．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）＞-f′（x），f（0）=-1，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式e^xf（x）＞-1（其中e为自然对数的底数）的解集为（0，+∞）．

Answer 1

分析 构造函数g（x）=e^xf（x），（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．

解答 解：设g（x）=e^xf（x），（x∈R），
则g′（x）=e^x[f（x）+f′（x）]，
∵f′（x）＞-f（x），
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定义域上单调递增，
又g（0）=e⁰f（0）=-1，
∵g（x）=e^xf（x）＞-1
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0，
∴不等式的解集为（0，+∞），
故答案为：（0，+∞）．

点评 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．