Question

如图，曲线C1是以原点O为中心，F1，F2为焦点的椭圆的一部分．曲线C2是以O为顶点，F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的交点且∠AF2F1为钝角，若|AF1|＝，|AF2|＝．

(1)求曲线C1和C2的方程；

(2)设点C是C2上一点，若|CF1|＝|CF2|，求△CF1F2的面积．

 

Answer 1

（1）曲线C1的方程为＋＝1(－3≤x≤)，曲线C2的方程为y2＝4x(0≤x≤)

（2）2

【解析】(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝6，得a＝3．

设A(x，y)，F1(－c,0)，F2(c,0)，则(x＋c)2＋y2＝()2，(x－c)2＋y2＝()2，两式相减得xc＝．由抛物线的定义可知|AF2|＝x＋c＝，

则c＝1，x＝或x＝1，c＝．又∠AF2F1为钝角，

则x＝1，c＝不合题意，舍去．当c＝1时，b＝2，

所以曲线C1的方程为＋＝1(－3≤x≤)，曲线C2的方程为y2＝4x(0≤x≤)．

(2)过点F1作直线l垂直于x轴，过点C作CC1⊥l于点C1，依题意知|CC1|＝|CF2|．

在Rt△CC1F1中，|CF1|＝|CF2|＝|CC1|，所以∠C1CF1＝45°，

所以∠CF1F2＝∠C1CF1＝45°．

在△CF1F2中，设|CF2|＝r，则|CF1|＝r，|F1F2|＝2．

由余弦定理得22＋(r)2－2×2×rcos45°＝r2，

解得r＝2，

所以△CF1F2的面积S△CF1F2＝|F1F2|·|CF1|sin45°＝×2×2sin45°＝2．