Question

已知点C(1,0)，点A、B是⊙O：x2＋y2＝9上任意两个不同的点，且满足·＝0，设P为弦AB的中点．

(1)求点P的轨迹T的方程；

(2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点：它到直线x＝－1的距离恰好等于到点C的距离？若存在，求出这样的点的坐标；若不存在，说明理由．

 

 

Answer 1

（1）x2－x＋y2＝4

（2）存在，(1，－2)和(1,2)

【解析】(1)连接CP、OP，由·＝0，知AC⊥BC，

∴|CP|＝|AP|＝|BP|＝|AB|．

由垂径定理知|OP|2＋|AP|2＝|OA|2，

即|OP|2＋|CP|2＝9．

设点P(x，y)，有(x2＋y2)＋[(x－1)2＋y2]＝9，

化简，得到x2－x＋y2＝4．

(2)根据抛物线的定义，到直线x＝－1的距离等于到点C(1,0)的距离的点都在抛物线y2＝2px上，其中＝1，

∴p＝2，故抛物线方程为y2＝4x．

由方程组，得x2＋3x－4＝0，

解得x1＝1，x2＝－4，由于x≥0，

故取x＝1，此时y＝±2．

故满足条件的点存在，其坐标为(1，－2)和(1,2)．