Question

椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，两焦点F1，F2之间的距离为2，椭圆上第一象限内的点P满足PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积为1．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若椭圆C的右顶点为A，直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M，N，且满足AM⊥AN．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1 （2）见解析

【解析】(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，因为|F1F2|＝2，所以c＝，由S△PF1F2＝1，得|PF1||PF2|＝2，又由PF1⊥PF2，得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝12，即(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝12，即4a2－4＝12，a2＝4，b2＝a2－3＝1，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1．

(2)由方程组，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，

Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－4)>0，整理得4k2－m2＋1>0．

设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝．

由AM⊥AN且椭圆的右顶点为A(2,0)，得(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0，

因为y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2，

所以(1＋k2)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2＋4＝0，

即(1＋k2)·＋(km－2)·＋m2＋4＝0，

整理得：5m2＋16mk＋12k2＝0，

解得m＝－2k或m＝－，均满足4k2－m2＋1>0．

当m＝－2k时，直线的l方程为y＝kx－2k，过定点(2,0)，与题意矛盾，舍去；

当m＝－时，直线l的方程为y＝k(x－)，过定点(，0)，符合题意．

故直线l过定点，且定点的坐标为(，0)．