Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且（S_n-1）²=a_nS_n．
（Ⅰ）求a₁；
（Ⅱ）求证：数列{

1

Sn-1

}为等差数列；
（Ⅲ）是否存在正整数m，k，使

1

akSk

=

1

am

+19成立？若存在，求出m，k；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：等差关系的确定,数列递推式

专题：计算题,证明题,存在型,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）令n=1，a1=S1，代入计算即可得到；
（Ⅱ）n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，代入化简整理，即可得到

1

Sn-1

-

1

Sn-1-1

=-1为定值；
（Ⅲ）运用等差数列的通项公式，求出S_n=

n

1+n

，假设存在正整数m，k，使

1

akSk

=

1

am

+19．化简整理，因式分解可得（2k+2m+3）（2k-2m+1）=75=75×1=25×3=15×5，根据整数解，进而得到方程组，解得即可．

解答： （Ⅰ）解：n=1时，（a₁-1）²=a₁²，则a₁=

1

2

；
（Ⅱ）证明：（S_n-1）²=a_nS_n，
 则n≥2时，（S_n-1）²=（S_n-S_n-1）S_n．
 即有-2S_n+1=-S_n-1S_n，
即1-S_n=S_n（1-S_n-1），即有

1

Sn-1-1

=

Sn

Sn-1

，

1

Sn-1

-

1

Sn-1-1

=

1

Sn-1

-

Sn

Sn-1

=-1为定值，
则数列{

1

Sn-1

}为等差数列；
（Ⅲ）解：

1

a1-1

=-2，则

1

Sn-1

=-2+（n-1）（-1）=-n-1
即有S_n=

n

1+n

，则a_n=

(Sn-1)2

Sn

=

1

n(n+1)

假设存在正整数m，k，使

1

akSk

=

1

am

+19．
则（k+1）²=m（m+1）+19，则4（k+1）²=4m（m+1）+76，
即有[（2k+2）+（2m+1）][（2k+2）-（2m+1）]=75
即（2k+2m+3）（2k-2m+1）=75=75×1=25×3=15×5
即有

2k+2m+3=75 2k-2m+1=1

或

2k+2m+3=25 2k-2m+1=3

或

2k+2m+3=15 2k-2m+1=5

，
解得，

m=18 k=18

或

m=5 k=6

或

m=2 k=4

．

点评：本题考查数列的通项与前n项和的关系，考查等差数列的通项公式，考查存在性问题，考查运算能力，属于中档题．