Question

12．在等比数列{a_n}中，公比q＞1，a₂=2，前三项和S₃=7．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记b_n=log₂a_n，c_n=$\frac{1}{{b}_{n+1}•{b}_{n+2}}$，设数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用对数的运算性质、裂项求和方法即可得出．

解答 （1）解：q＞1时，a₂=a₁q=2；S₃=a₁（1+q+q²）=7，解得a₁=1，q=2；
∴a_n=2^n-1．
（2）证明：b_n=log₂a_n=n-1，
c_n=$\frac{1}{{b}_{n+1}•{b}_{n+2}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$=1-$\frac{1}{n+1}$＜1．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、对数的运算性质、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．