Question

17．已知数列{a_n}中，a_n=-3n+4，等比数列{b_n}的公比q满足q=a_n-a_n-1（n≥2）且b₁=a₁，则满足$\frac{1}{{|{b_1}|}}+\frac{1}{{|{b_2}|}}+…+\frac{1}{{|{b_n}|}}＜\frac{121}{81}$成立的n的最大值为（　　）

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 求出等比数列的公比和首项，再由等比数列的求和公式和不等式解法，可得n＜5，即可得到所求最大值．

解答 解：数列{a_n}中，a_n=-3n+4，
等比数列{b_n}的公比q满足q=a_n-a_n-1（n≥2）=-3，
且b₁=a₁=1，
b_n=b₁q^n-1=（-3）^n-1，
满足$\frac{1}{{|{b_1}|}}+\frac{1}{{|{b_2}|}}+…+\frac{1}{{|{b_n}|}}＜\frac{121}{81}$成立，
即为1+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{{3}^{n-1}}$=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$＜$\frac{121}{81}$，
解得n＜5，
则则满足$\frac{1}{{|{b_1}|}}+\frac{1}{{|{b_2}|}}+…+\frac{1}{{|{b_n}|}}＜\frac{121}{81}$成立的n的最大值为4．
故选：B．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查不等式的解法，化简整理的运算能力，属于基础题．