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    已知函数f（x）=x3+ax+b满足f（0）=f（1），又P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是其图象上不同两点．
    （1）求证：曲线y=f（x）关于点（0，b）中心对称．
    （2）设0≤x1＜x2，证明存在x0∈（x1，x2），使y=f（x）在点R（x0，f（x0））处的切线平行于PQ，用x1，x2表示x0，并说明x0在区间（x1，x2）中点M的左侧还是右侧．
    （3）设0≤x1＜x2≤1，求证：|f（x1）-f（x2）|＜1．
    分析：（1）利用函数f（x）=x3+ax+b满足f（0）=f（1），可得b=1+a+b，故a=-1，从而f（x）=x3-x+b．设（x0，y0）是曲线y=f（x）上任意一点，证明点（x0，y0）关于（0，b）的对称点（-x0，2b-y0）也在y=f（x）上，即可；
    （2）y=f（x）在R点处的切线斜率为f′（x0）=3x02-1，又kPQ=
    f(x1)-f(x2)
    x1-x2
    =x12+x1x2+x22-1，令f′（x0）=kPQ，得x0=
    x
    2
    1
    +x1x2+
    x
    2
    2
    3
    ∈（x1，x2），故可证x0＞
    x1+x2
    2
    ，从而x0在区间（x1，x2）中点的右侧；
    （3）由（2）知当0≤x1＜x2≤1时，存在x0∈（x1，x2）使PQ的斜率k=f′（x0）=3x02-1，从而|k|＜2．进而分类讨论，利用绝对值不等式的性质，即可证得．
    解答：证明：（1）∵函数f（x）=x3+ax+b满足f（0）=f（1），
    ∴b=1+a+b，故a=-1，从而f（x）=x3-x+b．（1分）
    设（x0，y0）是曲线y=f（x）上任意一点，则y0=f（x0）=x03-x0+b，从而2b-y0=-x03+x0+b=f（-x0），
    故点（x0，y0）关于（0，b）的对称点（-x0，2b-y0）也在y=f（x）上，
    再由（x0，y0）的任意性知y=f（x）的图象关于（0，b）中心对称．（4分）
    （2）y=f（x）在R点处的切线斜率为f′（x0）=3x02-1，
    又kPQ=
    f(x1)-f(x2)
    x1-x2
    =x12+x1x2+x22-1，
    由0≤x1＜x2，令f′（x0）=kPQ，得x0=
    x
    2
    1
    +x1x2+
    x
    2
    2
    3
    ∈（x1，x2），
    从而存在x0∈（x1，x2），使y=f（x）在R（x0，f（x0））处的切线平行于直线PQ．（7分）
    又x12+x1x2+x22=
    3
    4
    (x1+x2)2+
    1
    4
    (x1-x2)2＞
    3
    4
    (x1+x2)2    ，
    故x0＞
    x1+x2
    2
    ，即x0在区间（x1，x2）中点的右侧．（9分）
    （3）由（2）知当0≤x1＜x2≤1时，存在x0∈（x1，x2）使PQ的斜率k=f′（x0）=3x02-1，
    再由x0∈（x1，x2）知x0∈（0，1），从而3x02-1∈（-1，2），于是|k|＜2．（11分）
    从而对任何s，t∈[0，1]，s≠t，有|f（s）-f（t）|=k|s-t|＜2|s-t|．
    当0≤x1＜x2≤1且|x1-x2|≤
    1
    2
    时，|f（x1）-f（x2）|＜2|x1-x2|＜1；
    当|x1-x2|＞
    1
    2
    时，由0≤x1＜x2≤1知0≤x1＜
    1
    2
    ＜x2≤    1，
    从而|f（x1）-f（x2）|=|f（x1）-f（0）+f（1）-f（x2）|≤|f（x1）-f（0）|+|f（1）-f（x2）|
    ＜2（|x1-0|+|1-x2|）＜2（x1+1-x2）=2-2（x2-x1）＜1．（14分）
    点评：本题以函数为载体，考查函数的对称性，考查切线的斜率，考查绝对值不等式的运用，综合性强，有难度．
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    π
    2
    ）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）
    A、f(x)=2sin(πx+
    π
    6
    )(x∈R)
    B、f(x)=2sin(2πx+
    π
    6
    )(x∈R)
    C、f(x)=2sin(πx+
    π
    3
    )(x∈R)
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    π
    3
    )(x∈R)

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•深圳一模）已知函数f(x)=
    1
    3
    x3+bx2+cx+d    ，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
    （1）求f（x）；
    （2）设g(x)=x
    		f′(x)
     ， m＞0    ，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
    （3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

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    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：上海模拟 题型：解答题

    已知函数f(x)=(
    x
    a
    -1)2+(
    b
    x
    -1)2，x∈(0，+∞)    ，其中0＜a＜b．
    （1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
    （2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
    （3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
    求证：f1(x)+f2(x)＞
    4c2
    k(k+c)
    ．

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    科目：高中数学 来源：深圳一模 题型：解答题

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    1
    3
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    （1）求f（x）；
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    		f′(x)
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