Question

已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+4）-f（x）=2f（x），若y=f（x-1）的象关于直线x=1对称，且f（1）=2，则f（2013）=（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、0

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：依题意，知函数y=f（x）为偶函数，令x=-2，可求得f（2）=0，继而可得y=f（x）是以4为周期的函数，且f（1）=2，于是可求得f（2013）的值．

解答： 解：∵y=f（x-1）的图象关于直线x=1对称，
∴y=f（x）的图象关于直线x=0对称，
∴函数y=f（x）为偶函数，
∴f（-2）=f（2），
令x=-2，得：f（-2+4）-f（-2）=2f（2），
即f（2）-f（2）=2f（2），
∴f（2）=0，
∴f（x+4）-f（x）=0，
即f（x+4）=f（x），
∴函数y=f（x）是以4为周期的函数，且f（1）=2，
∴f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=2．
故答案为：2．

点评：本题考查抽象函数及其性质，着重考查函数的奇偶性与周期性的确定与应用，属于中档题．