Question

设(

2

-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10，则（a₁+a₃+…+a₉）²-（a₀+a₂+…+a₁₀）²的值为（　　）

• A、0
• B、-1
• C、1
• D、（

  2

  -1）¹⁰

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：在所给的等式中，分别令令x=1、x=-1，可得得2个等式，由这2个等式求得 a₁+a₃+…+a₉ 和a₀+a₂+…+a₁₀  的值，再利用平方差公式求得（a₁+a₃+…+a₉）²-（a₀+a₂+…+a₁₀）² 的值．

解答： 解：在设(

2

-x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10中，令x=1，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₀=(

2

-1)10 ①，
再令x=-1，可得得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₁₀=(

2

+1)10 ②，
由①②求得 a₁+a₃+…+a₉ =

( 2 -1)10-( 2 +1)10

2

，a₀+a₂+…+a₁₀=

( 2 -1)10+( 2 +1)10

2

，
∴（a₁+a₃+…+a₉）²-（a₀+a₂+…+a₁₀）² =（a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₀ ）（a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₁₀ ）
=(

2

-1)10•[-(

2

+1)10]=-1，
故选：B．

点评：本题主要考查二项式定理、平方差公式的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题．