Question

2．已知函数f（x）=e^x-x
（1）求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（2）当x＞0，f（2x）-4bf（x）＞f（-2x）-4bf（-x）恒成立，求b的最大值；
（3）解关于x的不等式：$\left\{\begin{array}{l}f（x）≤f（1）\\ f（-x）≤f（1）\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，得到f′（1），再求出f（1），代入直线方程的点斜式得答案；
（2）构造函数g（x）=f（2x）-4bf（x）-f（-2x）+4bf（-x），验证g（0）=0，只需说明g（x）在（0，+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g'（x）＞0是否成立”的问题，进一步转化为关于b的不等式求解；
（3）求出函数f（x）=e^x-x在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）上单调递增，结合f（-1）＜f（1）及函数的对称性可得不等式$\left\{\begin{array}{l}f（x）≤f（1）\\ f（-x）≤f（1）\end{array}\right.$的解集．

解答 解：（1）∵f（x）=e^x-x，∴f′（x）=e^x-1，
则f′（1）=e-1，又f（1）=e-1，
∴曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-e+1=（e-1）（x-1），即（e-1）x-y=0；
（2）令g（x）=f（2x）-4bf（x）-f（-2x）+4bf（-x）
=e^2x-2x-4b（e^x-x）-（e^-2x+2x）+4b（e^-x+x）
=e^2x-e^-2x-4b（e^x-e^-x）+（8b-4）x，
则g'（x）=2[e^2x+e^-2x-2b（e^x+e^-x）+（4b-2）]
=2[（e^x+e^-x）²-2b（e^x+e^-x）+（4b-4）]
=2（e^x+e^-x-2）（e^x+e^-x-2b+2）．
①∵e^x+e^-x≥2，e^x+e^-x+2≥4，
∴当2b≤4，即b≤2时，g'（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，
从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，
∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．
②当b＞2时，若x满足2＜e^x+e^-x＜2b-2，即0＜x＜ln（b-1+$\sqrt{{b}^{2}-2b}$）时，g'（x）＜0，
又由g（0）=0知，当0＜x≤ln（b-1+$\sqrt{{b}^{2}-2b}$）时，g（x）＜0，不符合题意．
综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2；
（3）∵f（x）=e^x-x，∴f′（x）=e^x-1，
则x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）上单调递增，
又∵f（x）与f（-x）关于y轴对称．
f（-1）=e^-1+1=$\frac{1}{e}$+1＜e-1=f（1），
且由对称性知，-1≤x≤1．
∴不等式：$\left\{\begin{array}{l}f（x）≤f（1）\\ f（-x）≤f（1）\end{array}\right.$的解集为[-1，1]．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和求极值、最值，考查分类讨论的思想方法和运算求解能力，属于压轴题．