Question

若函数y=f（x）=sinx+

3

cosx+2，x∈[0，2π），且关于x的方程f（x）=m有两个不等实数根α，β，则sin（α+β）=（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  3

  2

• C．

  1

  2

  或

  3

  2

• D．无法确定

Answer 1

分析：利用两角和的正弦公式化简函数的解析式为y=2sin（x+

π

3

 ）+2，由题意可得  2sin（x+

π

3

）+2=m有两个不等实数根α，β．且这两个实数根关于直线x+

π

3

=

π

2

或直线 x+

π

3

=

3π

2

对称，求出α+β的值，可得sin（α+β）的值．

解答：解：函数y=f（x）=sinx+

3

cosx+2=2（

1

2

sinx+

3

2

cosx ）+2=2sin（x+

π

3

 ）+2．
再由x∈[0，2π）可得

π

3

≤x+

π

3

＜2π+

π

3

，故-1≤sin（x+

π

3

）≤1，故0≤f（x）≤4．
由题意可得  2sin（x+

π

3

）+2=m有两个不等实数根α，β，
且这两个实数根关于直线x+

π

3

=

π

2

或直线 x+

π

3

=

3π

2

对称，
故有 

α+ π 3 +β+ π 3

2

=

π

2

，或

α+ π 3 +β+ π 3

2

=

3π

2

，故 α+β=

π

3

 或  α+β=

7π

3

，
故 sin（α+β）=

3

2

，
故选B．

点评：本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的对称性，体现了转化的数学思想，属于中档题．