Question

已知f（x）=

3

sin2x+cos（2x-

π

3

）+cos（2x+

π

3

）．
（1）求f（x）的单调增区间和对称轴；
（2）若|

a

|=1，|

b

|=2，

3

≤|

a

+

b

|≤

7

，设

a

与

b

的夹角为x，求f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角公式和二倍角公式对函数解析式化简，根据正弦函数的图象和性质确定函数的单调增区间和对称轴方程．
（2）根据已知不等式和两向量的模整理可得cosx的范围，进而确定x的范围，最后根据（1）中函数的解析式和正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值．

解答： 解：（1）f（x）=

3

sin2x+cos（2x-

π

3

）+cos（2x+

π

3

）=

3

sin2x+

1

2

cos2x+

3

2

sinx+

1

2

cos2x-

3

2

sin2x=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
所以函数的单调增区间为：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z），
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z，
所以函数的对称轴为x=

kπ

2

+

π

6

，k∈Z．
（2）∵

3

≤|

a

+

b

|≤

7

，
∴3≤（|

a

+

b

|）²≤7，整理得3≤5+4cosx≤7，
∴-

1

2

≤cosx≤

1

2

，
∴

π

3

≤x≤

2π

3

，
∴

5π

6

≤2x+

π

6

≤

3π

2

，
∴-2≤2sin（2x+

π

6

）≤1，
∴函数的最大值为1，最小值为-2．

点评：本题主要考查了三角函数图象与性质，三角函数恒等变换的应用，以及数量积的运用．解题过程运用了数形结合思想和转化与化归的思想．