Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点A（﹣1，0），其倾斜角是α，以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程是ρ2=6ρcosθ﹣5．
（Ⅰ）若直线l和曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；
（Ⅱ）设B（x，y）为曲线C任意一点，求 的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程转化成直角坐标方程是C：x2+y2﹣6x+5=0，
由题意知直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x+1），其中k=tanα．
联立
消去y得（1+k2）x2+2（k2﹣3）x+k2+5=0．
因为直线l和曲线C有交点，所以△=4（k2﹣3）2﹣4（1+k2）（k2+5）≥0，
即 ，
即 ，
所以 ．
（Ⅱ）曲线C：x2+y2﹣6x+5=0即（x﹣3）2+y2=4的参数方程是 （θ为参数），
所以点B（x，y）的坐标可以写成（3+2cosθ，2sinθ），
所以 ，
因为sin（θ+ ）∈[﹣1，1]，
所以 x+y∈[3 ﹣4，3 +4]
【解析】（Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入曲线C的极坐标方程，可得曲线的直角坐标方程，联立直线l的方程，消去y，运用判别式大于等于0，可得斜率的范围，再由斜率公式，可得倾斜角的范围；（Ⅱ）求得曲线C的参数方程，运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到所求范围．