Question

已知函数f(x)=2sinxcosx+2

3

cos2x-

3

，x∈R
（I）化简函数f（x）的解析式，并求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，若f(A)=1，

AB

•

AC

=

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）将函数f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）由第一问确定的f（x）解析式，及f（A）=1，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，进而确定出sinA与cosA的值，利用平面向量的数量积运算法则化简

AB

•

AC

=

2

，求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．

解答：解：（I）f（x）=sin2x+

3

（cos2x+1）-

3

=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
∵ω=2，∴T=π；
（Ⅱ）由第一问确定的函数解析式及f（A）=1，得到2sin（2A+

π

3

）=1，
∴sin（2A+

π

3

）=

1

2

，
∵A为锐角，∴A=

π

4

，
∵

AB

•

AC

=

2

，
∴bccosA=

2

，即bc=2，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

2

2

．

点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，平面向量的数量积运算法则，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．