【题目】已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为
,若圆x2+y2=a2被直线x﹣y﹣
=0截得的弦长为2
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)已知点A、B为动直线y=k(x﹣1),k≠0与椭圆C的两个交点,问:在x轴上是否存在定点M,使得 为定值?若存在,试求出点M的坐标和定值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析:
(1)由题意求得a,b的值可得椭圆方程为;
(2)联立直线与椭圆的方程,结合题意可得,存在点 满足
为定值
.
试题解析:
解:(I)圆x2+y2=a2的圆心(0,0)到直线x﹣y﹣=0的距离d=
=1,
∴2=2,解得a2=2,又
=
,a2=b2+c2,
联立解得:a2=2,c=1=b.
∴椭圆C的标准方程为: +y2=1.
(II)假设在x轴上存在定点M(m,0),使得为定值.
设A(x1,y1),B(x2,y2),联立,化为:(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,
则x1+x2=,x1x2=
.
=(x1﹣m,y1)(x2﹣m,y2)=(x1﹣m)(x2﹣m)+y1y2=(x1﹣m)(x2﹣m)+k2(x1﹣1)(x2﹣1)=(1+k2)x1x2﹣(m+k2)(x1+x2)+m2+k2
=(1+k2)﹣(m+k2)
+m2+k2
=,
令2m2﹣4m+1=2(m2﹣2),解得m=.
因此在x轴上存在定点M(,0),使得
为定值
.
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【题目】设函数f(x)=ex(ax+b)(其中e=2.71828…),g(x)=x2+2bx+2,已知它们在x=0处有相同的切线.
(1)求函数f(x),g(x)的解析式;
(2)若函数F(x)=f(x)+g(x)﹣2(ex+x),试判断函数F(x)的零点个数,并说明理由;
(3)若函数f(x)在[t,t+1](t>﹣3)上的最小值为φ(t),解关于t的不等式φ(t)≤4e2 .
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【题目】已知动点到点
和直线l:
的距离相等.
(Ⅰ)求动点的轨迹E的方程;
(Ⅱ)已知不与垂直的直线
与曲线E有唯一公共点A,且与直线
的交点为
,以AP为直径作圆
.判断点
和圆
的位置关系,并证明你的结论.
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【题目】“现代五项”是由现代奥林匹克之父顾拜旦先生创立的运动项目,包含射击、击剑、游泳、马术和越野跑五项运动.已知甲、乙、丙共三人参加“现代五项”.规定每一项运动的前三名得分都分别为,
,
(
且
),选手最终得分为各项得分之和.已知甲最终得22分,乙和丙最终各得9分,且乙的马术比赛获得了第一名,则游泳比赛的第三名是
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 乙和丙都有可能
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【题目】已知函数f(x)=ex(其中e为自然对数的底数),g(x)= x+m(m,n∈R).
(1)若T(x)=f(x)g(x),m=1﹣,求T(x)在[0,1]上的最大值;
(2)若m=﹣,n∈N*,求使f(x)的图象恒在g(x)图象上方的最大正整数n.[注意:7<e2<
].
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【题目】已知a∈R,函数f(x)=(﹣x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数).
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;
(2)若函数f(x)在(﹣1,1)上单调递增,求a的取值范围.
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【题目】在一次小型抽奖活动中,抽奖规则如下:一个不透明的口袋中共有6个大小相同的球,它们是1个红球,1个黄球,和4个白球,从中抽到红球中50元,抽到黄球中10元,抽到白球不中奖.某人从中一次性抽出两球,求:
(1)该人中奖的概率;
(2)该人获得的总奖金X(元)的分布列和均值E(X).
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