Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=-，S_n+=a_n-2（n≥2，n∈N）
（1）求S₂，S₃，S₄的值；
（2）猜想S_n的表达式；并用数学归纳法加以证明．

Answer 1

解：（1）S₁=a₁=-，∵S_n+=a_n-2（n≥2，n∈N），令n=2可得
，S₂+=a₂-2=S₂-a₁-2，∴=-2，∴S₂=-．
同理可求得 S₃=-，S₄=-．
（2）猜想S_n =-，n∈N₊，下边用数学归纳法证明：
①当n=2时，S₂=a₁+a₂=-，猜想成立．
②假设当n=k时猜想成立，即S_K=-．
则当n=k+1时，∵S_n+=a_n-2，∴，
∴，∴=-2=，
∴S_K+1=-，∴当n=k+1时，猜想仍然成立．
综合①②可得，猜想对任意正整数都成立，即 S_n =-，n∈N₊成立．
分析：（1）S₁=a₁，由S₂+=a₂-2=S₂-a₁ 求得S₂，同理求得 S₃，S₄．
（2）猜想S_n =-，n∈N₊，用数学归纳法证明，检验n=1时，猜想成立；假设S_K=-，则当n=k+1时，由条件可得，，解出 S_K+1=-，故n=k+1时，猜想仍然成立．
点评：本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明当n=k+1时，S_n =-，n∈N₊，是解题的难点．