已知数列{an}的前n项的和为Sn,且Sn=2n+7-2an.
(1)求证:{an-2}为等比数列;
(2)是否存在实数k,使得an≤n3+kn2+9n对于任意的n∈N*都成立,若存在,求出实数k的取值范围;若不存在,说明理由.
解:(1)n=1时,a
1=S
1=2+7-2a
1,解得a
1=3.
n≥2时,a
n=S
n-S
n-1=2-2a
n+2a
n-1,
即3a
n=2a
n-1+2,
∴
,
∴{a
n-2}是首项为1,公比为
的等比数列.
(2)由(1)知
,
∴
,
由2+(
)
n-1≤n
3+kn
2+9n,
得
.
∴只需求出
的最大值即可.
设
,
,
,
∵n∈N
*,∴f(n)单调递减.
∵
=
,
∴g(n)<g(n+1),
故g(n)单调递减.
=
,
当n≥3时,h(n)>h(n+1),
故n≥3时,h(n)单调递减.
∴n≥3时,
随着n的增大而减小,
∵p(1)=-7,
,
,
∴p(n)的最大值为p(3)=-
.
故k≥
.
分析:(1)由n=1,解得a
1=3.由n≥2,得3a
n=2a
n-1+2,故
,由此能够证明{a
n-2}是首项为1,公比为
的等比数列.
(2)由
,知
,由2+(
)
n-1≤n
3+kn
2+9n,得
.故只需求出
的最大值即可得到k范围.
点评:本题考查等比数列的证明和数列与不等式的综合运用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归与转化思想.对数学思维的要求比较高,有一定的探索性.综合性强,难度大,是高考的重点,易错点是判断最大值时因解题能力差导致失误.解题时要认真审题,仔细解答,注意提高解题能力.