Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c．下列结论：
①?x₀∈R，f（x₀）=0；
②函数y=f（x）的图象是中心对称图形；
③若x₀是f（x）的极小值点，则f（x）在（-∞，x₀）单调递减；
④若x₀是f（x）的极值点，则f′（x₀）=0．
其中正确的有

①④

．

Answer 1

分析：利用函数f（x）=x³+ax²+bx+c的性质，对①②③④四个选项逐一判断即可．

解答：解：①∵f（x）=x³+ax²+bx+c，
∴f′（x）=3x²+2ax+b，即f（x）的导函数为开口向上的二次函数，
当△＜0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）=x³+ax²+bx+c在R上单调递增，故必?x₀∈R，f（x₀）=0；
当△≥0时，f′（x）有时大于0，有时小于0，f（x）=x³+ax²+bx+c时增时减，故必?x₀∈R，f（x₀）=0；
综上分析，①正确；
②由于f（-x）+f（x）=2ax²+2c不一定恒为0，故函数y=f（x）的图象不一定是中心对称图形，即②是错误的；
③若x₀是f（x）的极小值点，只能说明在x₀附近，左侧导数小于0，右侧导数大于0，不能说明f（x）在（-∞，x₀）单调递减，故③错误；
④对于f（x）=x³+ax²+bx+c，若x₀是f（x）的极值点，则f′（x₀）=0，正确．
故答案为：①④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查导函数与极值的应用，属于中档题．