Question

已知函数，在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若x∈[0，1]，求函数f（x）的值域；
（Ⅲ）若，且，求f（x+1）的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）将f（x）化简为f（x）=2sin（ωx+），由正三角形△ABC的高为2可求得BC，从而可求得其周期，继而可得ω
及函数f（x）的值域；
（Ⅱ）由0≤x≤1，可求得x+∈[，]，利用正弦函数的性质可求得函数f（x）的值域；
（Ⅲ）由x∈（-，）可求得（+）∈（-，），从而可求得cos（+），最后利用两角和的正弦即可求得f（x+1）的值．
解答：解：（Ⅰ）由已知可得：f（x）=6+sinωx-3（ω＞0）
=3cosωx+sinωx
=2sin（ωx+），…3分
又由于正△ABC的高为2，则BC=4，
∴函数f（x）的周期T=4×2=8，即=8，
∴ω=…5分
∴函数的值域为[-2，2]…6分
（Ⅱ）∵0≤x≤1，
∴≤x+≤+，
≤sin（x+）≤，
3≤2sin（+）≤
∴函数f（x）的值域为[3，]…（9分）
（Ⅲ）因为f（x）=由（Ⅰ）有f（x）=2sin（+）=，即sin（+）=，
 
由x∈（-，）得：（+）∈（-，），
所以，cos（+）==…（11分）
故f（x+1）=2sin（++）=2sin[（+）+]=2sin[（+）cos+cos（+）sin
=2（×+×）= …13分
点评：本题考查两角和与差的正弦函数，考查三角函数间的关系式，考查分析，转化与综合应用的能力，属于难题．