Question

已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，E为BC中点，求证：AE⊥PD．

Answer 1

考点：向量在几何中的应用,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：平面向量及应用,空间位置关系与距离

分析：由已知条件，设

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AP

=

c

，利用向量法进行证明．

解答： 证：设

AB

=

a

，

AD

=

b

，

AP

=

c

，
∵PA⊥平面ABCD，
∴

a

•

c

=0，

b

•

c

=0，
∵∠ABC=60°，四边形ABCD为菱形，
∴

a

•

b

=|

a

|•|

b

|•cos∠BAD=|

b

|²•cos120°
=-

1

2

|

b

|²．

AE

=

AB

+

BE

=

a

+

1

2

b

，

PD

=

PA

+

AB

+

BC

+

CD

=-

c

+

a

+

b

-

a

=

b

-

c

，

AE

•

PD

=（

a

+

1

2

b

）•（

b

-

c

）
=

a

•

b

+

1

2

|

b

|²-

a

•

c

-

1

2

b

•

c

=-

1

2

|

b

|²+

1

2

|

b

|²=0，
∴

AE

⊥

PD

，
∴AE⊥PD．

点评：本题考查空间直线的位置关系，是基础题，解题时要注意向量法的合理运用，注意空间思维能力的培养．