Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=6

3

，E是PB上任意一点．
（1）求证：AC⊥DE；
（2）当△AEC面积的最小值是9时，求证：EC⊥平面PAB．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面垂直的性质

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）连接BD，设AC与BD相交于点F．由已知中在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，我们易得AC⊥BD，PD⊥AC，由线面垂直的判定定理可以得AC⊥平面PDB，再由线面垂直的性质定理，即可得到AC⊥DE；
（2）利用△AEC面积的最小值是9，求出EF，再利用线面垂直的判定定理可得结论．

解答： 解：（1）证明：连接BD，设AC与BD相交于点F．
因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD．
又因为PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC．
而AC∩BD=F，所以AC⊥平面PDB．
E为PB上任意一点，DE?平面PBD，所以AC⊥DE．
（2）证明：连ED．
由（1），知AC⊥平面PDB，EF?平面PBD，所以AC⊥EF．
S_△ACE=

1

2

AC•AF，在△ACE面积最小时，EF最小，则EF⊥PB，
所以S_△ACE=9，

1

2

×6×EF=9，解得EF=3，
由PB⊥EF且PB⊥AC得PB⊥平面AEC，则PB⊥EC，
又由EF=AF=FC=3得EC⊥AE，而PB∩AE=E，故EC⊥平面PAB．

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查学生空间想象能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．