Question

9．已知实数a＞0，定义域为（-1，1）的函数f（x）=$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$+a$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$；
（1）当a=1时，用定义判定f（x）的奇偶性并求（x）的最小值．
（2）用定义证明函数g（x）=x+$\frac{k}{x}$（k＞0）在（0，$\sqrt{k}$）上单调递减，则（$\sqrt{k}$，+∞）上单调递增；
（3）利用（2）的结论求实数a的取值范围，使得对于区间[0，$\frac{4}{5}$]上的任意三个实数r，s，t，都存在以f（r），f（s），f（t）为边长的三角形．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义进行判断函数的奇偶性，化简函数，即可求f（x）的最小值；
（2）利用函数单调性的定义，利用定义法进行证明；
（3）利用换元法将结合（2）的结论将问题转化为在区间$[\frac{1}{3}，1]$上，恒有2y_min＞y_max．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$+$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$，定义域为（-1，1），
则f（-x）=$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$+$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$=f（x），则函数f（x）为偶函数，
f（x）=$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$+$\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$=$\frac{1-x+1+x}{\sqrt{1+x}•\sqrt{1-x}}$=$\frac{2}{\sqrt{1-{x}^{2}}}$，
∵x∈（-1，1），∴1-x²∈（0，1]，
∴$\sqrt{1-{x}^{2}}$∈（0，1]，
∴当$\sqrt{1-{x}^{2}}$=1时，f（x）取得最小值为2；
（2）设 0＜x₁＜x₂＜$\sqrt{k}$，则 f（x₁）-f（x₂）=x₁+$\frac{k}{{x}_{1}}$-（x₂+$\frac{k}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-k}{{x}_{1}{x}_{2}}$．
由0＜x₁＜x₂＜$\sqrt{k}$，可得（x₁-x₂）＜0，0＜x₁x₂＜k，
∴（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-k}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，f（x₁）＞f（x₂），
故函数在（0，$\sqrt{k}$）上单调递减．
 设 $\sqrt{k}$＜x₁＜x₂，同理可得 f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）•$\frac{{x}_{1}{x}_{2}-k}{{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），故函数在（$\sqrt{k}$，+∞））上单调递增．
（3）设t=$\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$，则当x∈[0，$\frac{4}{5}$]时，可得$t∈[\frac{1}{3}，1]$，∴$y=t+\frac{a}{t}（\frac{1}{3}≤t≤1）$
从而原问题等价于求实数a的范围，使得在区间$[\frac{1}{3}，1]$上，恒有2y_min＞y_max．
①当$0＜a≤\frac{1}{9}$时，$y=t+\frac{a}{t}$在$[\frac{1}{3}，1]$上单调递增，
∴${y_{min}}=3a+\frac{1}{3}，{y_{max}}=a+1$，
由2y_min＞y_max得$a＞\frac{1}{15}$，
从而$\frac{1}{15}＜a≤\frac{1}{9}$； 
②当$\frac{1}{9}＜a≤\frac{1}{3}$时，$y=t+\frac{a}{t}$在$[\frac{1}{3}，\sqrt{a}]$上单调递减，在$[\sqrt{a}，1]$上单调递增，
∴${y_{min}}=2\sqrt{a}，{y_{max}}=max\{3a+\frac{1}{3}，a+1\}=a+1$，
由2y_min＞y_max得$7-4\sqrt{3}＜a＜7+4\sqrt{3}$，
从而$\frac{1}{9}＜a≤\frac{1}{3}$；
③当$\frac{1}{3}＜a＜1$时，$y=t+\frac{a}{t}$在$[\frac{1}{3}，\sqrt{a}]$上单调递减，在$[\sqrt{a}，1]$上单调递增，
∴y_min=2$\sqrt{a}$，y_max=a+1，
由2y_min＞y_max得$\frac{{7-4\sqrt{3}}}{9}＜a＜\frac{{7+4\sqrt{3}}}{9}$，从而$\frac{1}{3}＜a＜1$； 
④当a≥1时，$y=t+\frac{a}{t}$在$[\frac{1}{3}，1]$上单调递减，
∴${y_{min}}=a+1，{y_{max}}=3a+\frac{1}{3}$，
由2y_min＞y_max得$a＜\frac{5}{3}$，从而$1≤a＜\frac{5}{3}$；
综上，$\frac{1}{15}＜a＜\frac{5}{3}$．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，以及函数y=x+$\frac{k}{x}$（k＞0）的单调性的证明和应用，利用定义法是解决本题的关键．考查学生分析转化问题的能力，运算量较大，属于难题．