Question

17．已知函数f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）+cos（2x-$\frac{π}{6}$）+2cos²x-1
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若α∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]且f（α）=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，求cos2α．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简可得解析式f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）．利用周期公式即可求得函数f（x）的最小正周期．
（Ⅱ）由f（α）=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，可得sin（2α$+\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，由a∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，可得$\frac{3π}{4}≤2α+\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}$，可求cos（2$α+\frac{π}{4}$），利用两角差的余弦函数公式即可求得cos2α=cos[（2α$+\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]的值．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}sin2x+cos2x$
=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）．…（4分）
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．…（6分）
（Ⅱ）∵f（α）=$\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
∴$\sqrt{2}sin（2α+\frac{π}{4}）=\frac{3\sqrt{2}}{5}$，
∴sin（2α$+\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，…（7分）
∵α∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，∴$\frac{3π}{4}≤2α+\frac{π}{4}≤\frac{5π}{4}$，∴cos（2$α+\frac{π}{4}$）=-$\frac{4}{5}$，…（9分）
∴cos2α=cos[（2α$+\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{4}$]=cos（2α$+\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+sin（2α$+\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$-\frac{4}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{10}$．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，两角差的余弦函数公式，周期公式，特殊角的三角函数值等知识的应用，属于基本知识的考查．