Question

5．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆与另一个点B，且点B在x轴上的设影恰好为右焦点F，若0＜k＜$\frac{1}{3}$，则椭圆的离心率的取值范围是（$\frac{2}{3}$，1）．

Answer 1

分析 先作出图形，则易知|AF₂|=a+c，|BF₂|=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$，再由∠BAF₂是直线的倾斜角，易得k=tan∠BAF₂=$\frac{a-c}{a}$，由k的范围，结合离心率公式化简求解．

解答 解：如图所示：|AF₂|=a+c，
令x=c，可得y=±b$\sqrt{1-\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}$=±$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$，
即有|BF₂|=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a}$，
∴k=tan∠BAF₂=$\frac{|B{F}_{2}|}{|A{F}_{2}|}$=$\frac{{a}^{2}-{c}^{2}}{a（a+c）}$=$\frac{a-c}{a}$，
又∵0＜k＜$\frac{1}{3}$，
∴0＜$\frac{a-c}{a}$＜$\frac{1}{3}$，
∴0＜1-e＜$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{2}{3}$＜e＜1，
故答案为：（$\frac{2}{3}$，1）．

点评 本题考查了椭圆与直线的位置关系及椭圆的几何性质和直线的斜率与倾斜角，属于中档题．