Question

16．直线y=a分别与曲线y=2（x-1），y=x+e^x交于A，B，则|AB|的最小值为（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{3\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 设A（x₁，a），B（x₂，a），则2（x₁-1）=x₂+${e}^{{x}_{2}}$，表示出x₁，求出|AB|，利用导数求出|AB|的最小值．

解答 解：设A（x₁，a），B（x₂，a），
则2（x₁-1）=x₂+${e}^{{x}_{2}}$，
∴x₁=$\frac{1}{2}$（x₂+${e}^{{x}_{2}}$）+1，
∴|AB|=|x₂-x₁|=|$\frac{1}{2}$（x₂-${e}^{{x}_{2}}$）-1|，
令y=$\frac{1}{2}$（x-e^x）-1，
则y′=$\frac{1}{2}$（1-e^x），
∴函数在（0，+∞）上单调递减，在（-∞，0）上单调递增，
∴x=0时，函数y的最大值为-$\frac{3}{2}$，
即有|AB|的最小值为$\frac{3}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导确定函数的单调性是关键．