【题目】已知函数.
(1)当时,求函数的最小值;
(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.
【答案】(1)(2) (-3,+∞).
【解析】试题分析:(1) 先根据函数单调性定义确定函数在[1,+∞) 单调性:f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,再根据单调性确定函数最值取法:f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)=. (2)不等式恒成立问题,一般利用变量分离转化为对应函数最值问题: a>-(x2+2x)的最大值,再根据二次函数最值求法得-(x2+2x)在[1,+∞)上为-3,即得实数a的取值范围.
试题解析:(1)当时,f(x)=x++2,
设1≤x1<x2,则f(x2)-f(x1)=(x2-x1),Z+X+X+K]
∵1≤x1<x2,∴x2-x1>0,2x1x2>2,
∴,∴f(x2)-f(x1)>0,f(x1)<f(x2).
∴f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为f(1)=.
(2)在区间[1,+∞)上f(x)>0恒成立x2+2x+a>0恒成立.
设y=x2+2x+a,x∈[1,+∞),
则函数y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在区间[1,+∞)上是增函数.
所以当x=1时,y取最小值,即ymin=3+a,
于是当且仅当ymin=3+a>0时,函数f(x)>0恒成立,故a>-3.即实数a的取值范围是(-3,+∞).
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【题目】某省两相近重要城市之间人员交流频繁,为了缓解交通压力,特修一条专用铁路,用一列火车作为交通车,已知该车每次拖4节车厢,一日能来回16次,如果每次拖7节车厢,则每日能来回10次.
(1)若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数,求此一次函数解析式:
(2)在(1)的条件下,每节车厢能载乘客110人.问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数。
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点的极坐标为,曲线 的参数方程为(为参数).
(1)直线过且与曲线相切,求直线的极坐标方程;
(2)点与点关于轴对称,求曲线上的点到点的距离的取值范围.
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【题目】一河南旅游团到安徽旅游.看到安徽有很多特色食品,其中水果类较有名气的有:怀远石榴、砀山梨、徽州青枣等19种,点心类较有名气的有:一品玉带糕、徽墨酥、八公山大救驾等38种,小吃类较有名气的有:符离集烧鸡、无为熏鸭、合肥龙虾等57种.该旅游团的游客决定按分层抽样的方法从这些特产中买6种带给亲朋品尝.
(1)求应从水果类、点心类、小吃类中分别买回的种数;
(2)若某游客从买回的6种特产中随机抽取2种送给自己的父母,
①列出所有可能的抽取结果;
②求抽取的2种特产均为小吃的概率.
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【题目】现有8名奥运会志愿者,其中志愿者通晓日语,通晓俄语,通晓韩语.从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各名,组成一个小组.
(1)求被选中的概率;
(2)求和不全被选中的概率.
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【题目】已知圆C1:与y轴交于O,A两点,圆C2过O,A两点,且直线C2O恰与圆C1相切;
(1)求圆C2的方程。
(2)若圆C2上一动点M,直线MO与圆C1的另一交点为N,在平面内是否存在定点P使得PM=PN始终成立,若存在,求出定点坐标,若不存在,说明理由。
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【题目】已知椭圆: ,圆: 的圆心在椭圆上,点到椭圆的右焦点的距离为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点作互相垂直的两条直线,且交椭圆于两点,直线交圆于, 两点,且为的中点,求面积的取值范围.
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