Question

11．在平面几何中，已知三角形ABC的面积为S，周长为L，求三角形内切圆半径时，可用如下方法，设圆O为内切圆圆心，则S=S_△OAB+S_△OBC+S_△OAC=$\frac{1}{2}$r|AB|+$\frac{1}{2}$r|BC|+$\frac{1}{2}$r|AC|=$\frac{1}{2}$rL，∴r=$\frac{2S}{L}$
类比此类方法，已知三棱锥的体积为V，表面积为S，各棱长之和为L，则内切球半径r为（　　）

• A． $\frac{2V}{S}$
• B． $\frac{2V}{L}$
• C． $\frac{3V}{S}$
• D． $\frac{3V}{L}$

Answer 1

分析 根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．

解答 解：设四面体的内切球的球心为O，
则球心O到四个面的距离都是R，
所以四面体的体积等于以O为顶点，
分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．
则四面体的体积为V=$\frac{1}{3}$Sr
猜想：三棱锥的体积为V，表面积为S，各棱长之和为L，
则四面体ABCD的内切球半径r=$\frac{3V}{S}$
故选：C．

点评 本题主要考查类比推理．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．