Question

【题目】已知M（ ，0），N（2，0），曲线C上的任意一点P满足： = | |．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设曲线C与x轴的交点分别为A、B，过N的任意直线（直线与x轴不重合）与曲线C交于R、Q两点，直线AR与BQ交于点S．问：点S是否在同一直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设点P（x，y），∵M（ ，0），N（2，0）， ∴ =（﹣ ，0）， =（x﹣ ，y）， =（2﹣x，﹣y），
代入 = | |，化简得 + =1，
所以曲线C的方程为 + =1；
（Ⅱ）结论：点S是在同一条直线x= 上．
理由如下：
（i）当直线的斜率存在时，设直线方程为y=k（x﹣2），
将直线方程代入曲线C： + =1中，
化简得：（5+9k2）x2﹣36k2x+（36k2﹣45）=0．
设点R（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），利用根与系数的关系得：x1+x2= ，x1x2= ，
在曲线C的方程中令y=0得x=±3，不妨设A（﹣3，0），B（3，0），
则kBR= ，则直线BR：y= （x﹣3）．
同理直线 ．
由直线方程BR、AQ，消去y，
得x= = = = ，
所以点S是在直线x= 上；
（ii）当直线的斜率不存在时，则直线方程为x=2．
可得点S的横坐标为 ．
综合（i）（ii）得，点S是在同一条直线x= 上
【解析】（Ⅰ）设点P（x，y），通过M、N点坐标，可得 、 、 的坐标表示，利用 = | |计算即可；（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线方程并代入曲线C中，化简后利用韦达定理计算即得结论；当直线的斜率不存在时，即得结论．