【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为、,椭圆的离心率为,过椭圆的左焦点,且斜率为的直线,与以右焦点为圆心,半径为的圆相切.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)线段是椭圆过右焦点的弦,且,求的面积的最大值以及取最大值时实数的值.
【答案】(1)(2)最大值,.
【解析】
(1)设,,可得:直线的方程为:,即,直线与圆相切,圆心到直线的距离为,解得,结合已知,即可求得答案.
(2)将直线的方程与椭圆方程联立,求得,结合导数知识,即可求得答案.
(1)设,,
直线斜率为,且过椭圆的左焦点.
直线的方程为:,即.
直线与圆相切,
圆心到直线的距离为,
解得.
椭圆的离心率为,即,
解得:,
根据:
椭圆的方程为.
(2)由(1)得,,
直线的斜率不为,
设直线的方程为:,
将直线的方程与椭圆方程联立可得:消掉
可得:,
恒成立,
设,,
则,是上述方程的两个不等根,
根据韦达定理可得:
,.
的面积:
设,则,,
可得:.
令
恒成立,
函数在上为减函数,故的最大值为:,
的面积的最大值为,
当且仅当,即时取最大值,
此时直线的方程为,即直线垂直于轴,
此时,即.
综上所述,的面积的最大值,时的面积的最大.
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【题目】图一是美丽的“勾股树”,它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到.图二是第1代“勾股树”,重复图二的作法,得到图三为第2代“勾股树”,以此类推,已知最大的正方形面积为1,则第代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为( )
A. B. C. D.
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【题目】国家学生体质健康测试专家组到某学校进行测试抽查,在高三年级随机抽取100名男生参加实心球投掷测试,测得实心球投掷距离(均在5至15米之内)的频数分布表如下(单位:米):
分组 | |||||
频数 | 9 | 23 | 40 | 22 | 6 |
规定:实心球投掷距离在之内时,测试成绩为“良好”,以各组数据的中间值代表这组数据的平均值,将频率视为概率.
(1)求,并估算该校高三年级男生实心球投掷测试成绩为“良好”的百分比.
(2)现在从实心球投掷距离在,之内的男生中用分层抽样的方法抽取5人,再从这5人中随机抽取3人参加提高体能的训练,求:在被抽取的3人中恰有两人的实心球投掷距离在内的概率.
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【题目】根据统计,某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量(百千克)与某种液体肥料每亩使用量(千克)之间的对应数据的散点图,如图所示.
(1)依据数据的散点图可以看出,可用线性回归模型拟合与的关系,请计算相关系数并加以说明(若,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合);
(2)求关于的回归方程,并预测液体肥料每亩使用量为12千克时,西红柿亩产量的增加量约为多少?
附:相关系数公式,参考数据:,.
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,
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【题目】我国是世界上严重缺水的国家,某市政府为了鼓励居民节约用水,计划调整居民生活用水收费方案,拟确定一个合理的月用水量标准(吨)、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费,超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求直方图中a的值;
(Ⅱ)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,并说明理由;
(Ⅲ)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准(吨),估计的值,并说明理由.
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【题目】某品牌电脑体验店预计全年购入台电脑,已知该品牌电脑的进价为元/台,为节约资金决定分批购入,若每批都购入(为正整数)台,且每批需付运费元,储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值(不含运费)成正比(比例系数为),若每批购入台,则全年需付运费和保管费元.
(1)记全年所付运费和保管费之和为元,求关于的函数.
(2)若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少,则每批应购入电脑多少台?
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